Hitungan Ajaib, Tapi Nyata

***
Hal Ini saya dapatkan ketika mengikuti matrikulasi matematika pada saat baru masuk sebagai mahasiswa PPKB di UI. Saat itu kami diputarkan sebuah film tentang matematika dalam bahasa Perancis. Ada dua kasus yang saya ingat:

1.Hitungan Deret Tak Hingga
----------------------------------

Percayakah anda kalau
1+10+100+1000+10000+100000+… = -1/9 ???
Wah bagaimana mungkin, 1+10 aja udah 11, kok bisa jadi minus??? hmm…kita buktikan:

Misalkan, 1+10+100+1000+… = x
Maka,

          1
        10
      100
    1000
  10000
          …
______+
..111111

x=…111111

Sekarang, kita kalikan x dengan 9:
9x = …99999

Kemudian kita jumlahkan 9x dengan 1
9x+1 = ...99999 + 1
9x+1 = …00000
9x+1 = 0
9x=-1
x=-1/9

Jadi, 1+10+100+1.000+10.000+…=-1/9

Hal ini bisa juga dibuktikan dengan rumus jumlah deret tak hingga, yang telah kita pelajari di SMA:

S~= a/(1-r)

Dimana:
S~= Jumlah deret tak hingga
a = suku pertama dari deret
r = rasio deret

Pada kasus diatas, a=1 dan r=10, sehingga
S~=a/(1-r)
S~=1/(1-10)
S~=-1/9

Wah, boleh percaya atau tidak, tapi inilah kenyataannya. Saya sendiri juga masih rada-rada bingung dan sedikit ragu dengan hitungan di atas. Soalnya filmnya bahasa Perancis dan saya sama sekali tak paham bahasa perancis, jadi saya cuma memperhatikan cara menghitungnya dan mengulanginya disini. Selain itu, studi mayor saya bukan matematika, jadi harap maklum kalau ada kesalahan atau kejanggalan. Ini cuma sekedar berbagi pengalaman. Pembuktian yang sesungguhnya saya serahkan pada ahlinya. =)

2. Hubungan Umum pada Bangun Ruang
-----------------------------------------

Untuk semua bangun ruang, berlaku:

Jumlah titik sudut + Jumlah sisi – Jumlah Rusuk = 2

Kita buktikan:
Misalkan

jumlah titik sudut = a
jumlah sisi = b
jumlah rusuk = c

a. Kubus, Persegi Panjang, dan Prisma Tegak segiempat
a=8
b=6
c=12
Maka a+b-c = 8+6-12 = 2

b. Limas Segi Empat
a=5
b=5
c=8
Maka a+b-c=5+5-8 = 2

c.Limas Segitiga
a=4
b=4
c=6
Maka a+b-c=4+4-6 = 2

d.Prisma Tegak segitiga
a=6
b=5
c=9
Maka a+b-c=6+5-9 = 2

Anda juga bisa membuktikannya dengan membuat kombinasi bangun ruang, misalnya kubus+limas segiempat ataupun berbagai jenis bangun ruang lain. Sedangkan untuk bangun ruang seperti kerucut, tabung, dan bola, saya belum dapat membuktikannya atau lebih tepatnya sudah lupa (sebenarnya telah dijelaskan di film itu).

Ada yang bisa???